Дорогие ребята!
На уроках мы учимся строить сечения многогранников плоскостью.
Дадим такое определение:
Сечением тетраэдра или параллелепипеда плоскостью называется фигура, состоящая из общих точек плоскости и фигуры.
Начнем с тетраэдра.
Сечением тетраэдра может быть ⌀, точка (вершина), отрезок (только все ребро), грань (треугольник), треугольник, не совпадающий с гранью, четырехугольник.Подумайте, можно ли в сечении тетраэдра получить пятиугольник, почему?
Принципы построения сечений
- Как правило, плоскость будем задавать тремя точками, например, А, В, С.
- Будем считать, что все точки, определяемые плоскость, принадлежат граням.
Второе правило: чтобы найти точку пересечения прямых, нужно убедиться, что они лежат в одной плоскости.
- Например, на рисунке обе точки E и F находятся в задней грани (F- невидимая точка), значит, соединяем их, проводим прямую EF в задней грани , она пересечет ребро BD в точке G.
Задача №1.
Попробуйте найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. (F - видимая точка)Но прямая АС лежит в заштрихованной грани, значит, точка пересечения прямых АC и EF также будет являться точкой пересечения прямой EF и выделенной грани.
Построение выполните самостоятельно.
Попробуйте самостоятельно найти точку пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки, и выделенной плоскости в следующих ситуациях:
Задача №2. (посложнее) Попробуйте здесь найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. Здесь E- видимая точка и принадлежит грани (АВС).
Для того чтобы решить эту задачу, давайте введем вспомогательную плоскость, проходящую через точки E, F и вспомогательную точку А (вместо точки А можно взять другую
точку). Эта плоскость (АEF) пересечет нижнюю грань в точках L и D, значит, их линией пересечения будет прямая LD/
Теперь видим, что прямые EF и LD лежат в одной плоскости (AEF) и, значит, найдем их точку пересечения. (Вопрос: всегда это возможно?) Продолжая рассуждать аналогично предыдущей задаче, получим, что точка М - искомая точка пересения прямой EF и плоскости (BCD).
Примечание. Одна из выделенных точек находится в задней боковой грани.
А сейчас разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Рассмотрим такую задачу.
Построить сечение тетраэдра плоскостью (EFG), причем точки E и G - видимые.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Попробуйте самостоятельно построить сечение плоскостью (EFG), но теперь точки E и G - невидимые.
Получилось? - Молодцы:))
Если нет, спрашивайте, что непонятно...
Проверить правильность построения вы можете, посмотрев презентацию
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
3. Далее повторяем с пункта 1.Рассмотрим такую задачу.
Построить сечение тетраэдра плоскостью (EFG), причем точки E и G - видимые.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
Попробуйте самостоятельно построить сечение плоскостью (EFG), но теперь точки E и G - невидимые.Получилось? - Молодцы:))
Если нет, спрашивайте, что непонятно...
Проверить правильность построения вы можете, посмотрев презентацию
Напоследок попробуйте определить, есть ли ошибка в построении сечений. И если есть, то какая? Попробуйте ее исправить! Удачи))
