Сегодня еще раз разберем, как
построить сечение тетраэдра плоскостью.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
3. Далее повторяем с пункта 1.
Рассмотрим такую
задачу.
Построить сечение тетраэдра плоскостью (EFG), причем точки E и G - видимые.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной грани. Это точки G и K, обе лежат в левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многранника может находиться не более одной стороны (только одна) сечения
Попробуйте
самостоятельно построить сечение плоскостью (EFG), но теперь точки E и G - невидимые.
Получилось? - Молодцы:))
Если нет, спрашивайте, что непонятно...
Проверить правильность построения вы можете, посмотрев публикацию
Напоследок попробуйте определить, есть ли ошибка в построении сечений. И если есть, то какая? Ответы свои занесите в форму:
Обратите внимание на задание С4. Конечно же, в сечении получается трапеция. Только это необходимо доказать, применяя изученные в 10 классе теоремы. А затем уже найти площадь сечения. К сожалению, сечение сумели построить всего 6 учащихся. Что ж, впереди у нас отработка умений...
Сечением тетраэдра может быть ⌀, точка (вершина), отрезок (только все ребро), грань (треугольник), треугольник, не совпадающий с гранью, четырехугольник.
Попробуйте найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. (F - видимая точка)
Теперь видим, что прямые EF и LD лежат в одной плоскости (AEF) и, значит, найдем их точку пересечения. (Вопрос: всегда это возможно?) Продолжая рассуждать аналогично предыдущей задаче, получим, что точка М - искомая точка пересения прямой EF и плоскости (BCD).
