А вот случаи посложнее. Здесь фигура ограничена двумя графиками y=f1(x), y=f2(x) и прямыми x=a, x=b. Числа a и b называются пределами интегрирования - нижним и верхним. Как видим, неважно, в какой полуплоскости лежит график функции, главное, что одна функция - верхняя, а другая - нижняя.
Еще несколько примеров. Обратите внимание на случай, когда графики функций пересекаются. В таком случае, площадь фигуры находится как сумма двух площадей криволинейных фигур, только в одном случае y= φ(x) будет верхней функцией, а в другом y=f(x).
Разберем такой пример:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sinx, y=x2/4, 0≤x≤π/2
Сделаем эскиз к задаче и увидим, что площадь нужной нам фигуры можно найти как разность площадей криволинейной трапеции, ограниченной синусом, и криволинейной трапеции, ограниченной параболой:
А теперь пример посложнее.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=x2+1, y=x2, x+y-2=0, x=0
Видно, что x+y-2=0 - это прямая. Приведём её к привычному нам виду: y=-x+2. Сделаем эскиз:
|
Надо найти точки пересечения прямой с параболами, чтобы определить границы трапеций, т.е. пределы интегрирования. Для этого приравниваем правые части и решим уравнения:
x2=2-х
x2+х-2=0
x=-2; х=1
|
x2+1=2-х
x2+x-1=0
D=1-4 (-1)=5
x=(-1±√5)/2
x=(-1-√5)/2; х=(-1+√5)/2
|
Из четырёх получившихся значений выбираем нужные два. Это х=1 и х=(-1+√5)/2.
В этом случае нужная нам фигура получается как сумма двух криволинейных трапеций за минусом третьей.
Дальше - дело техники вычислений. Доведите вычисления до конца сами. Главное в этом примере было разобраться, из чего «собирается» площадь нужной нам фигуры.
А здесь парочка виджетов, которые позволят Вам проверить свое решение)). Попробуйте... Получилось?
**Вводите буквы в английском регистре и используйте для обозначения степени значок ^, например, x^2. А в остальном, экспериментируйте сами... Удачи)))
|
Комментариев нет:
Отправить комментарий
Здесь можно оставить свои комментарии