Площадь фигур, ограниченных графиками

Ребята! Вот Вы и познакомились с тем, как при помощи интегрирования находить площади криволинейных фигур.


Теперь Вы умеете находить площадь подграфика, если график функции лежит в верхней полуплоскости. Это важное дополнение.
Формула эта называется формулой Ньютона-Лейбница.

А вот случаи посложнее. Здесь фигура ограничена двумя графиками y=f1(x), y=f2(x) и прямыми x=a, x=b. Числа a и b называются пределами интегрирования - нижним и верхним. Как видим, неважно, в какой полуплоскости лежит график функции, главное, что одна функция - верхняя, а другая - нижняя. Еще несколько примеров. Обратите внимание на случай, когда графики функций пересекаются. В таком случае, площадь фигуры находится как сумма двух площадей криволинейных фигур, только в одном случае y= φ(x) будет верхней функцией, а в другом   y=f(x). Разберем такой пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sinx,  y=x2/4, 0≤x≤π/2  Сделаем эскиз к задаче и увидим,  что площадь нужной нам фигуры можно найти как разность площадей криволинейной трапеции, ограниченной синусом, и криволинейной трапеции, ограниченной параболой:  А теперь пример посложнее. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=x2+1, y=x2, x+y-2=0, x=0                 Видно, что x+y-2=0 - это прямая. Приведём её к привычному нам виду:  y=-x+2. Сделаем эскиз: Надо найти точки пересечения прямой с параболами, чтобы определить границы трапеций, т.е. пределы интегрирования. Для этого приравниваем правые части и решим уравнения: x2=2-х x2+х-2=0 x=-2; х=1  x2+1=2-х x2+x-1=0 D=1-4 (-1)=5 x=(-1±√5)/2 x=(-1-√5)/2; х=(-1+√5)/2  Из четырёх получившихся значений выбираем нужные два. Это х=1 и х=(-1+√5)/2. В этом случае нужная нам фигура получается как сумма двух криволинейных         трапеций за минусом третьей.  Дальше - дело техники вычислений. Доведите вычисления до конца сами. Главное в этом примере было разобраться, из чего «собирается» площадь нужной нам фигуры.  А здесь  парочка виджетов, которые позволят Вам проверить свое решение)). Попробуйте... Получилось? **Вводите буквы в английском регистре и используйте для обозначения степени значок ^, например, x^2. А в остальном, экспериментируйте сами... Удачи))) Найти площадь криволинейной трапеции онлайн Введите функцию f(x) = Границы отрезка [a; b]: a = b = Найти площадь трапеции

© MathOnline.um-razum.ru

Площадь фигуры, ограниченной линиями

Введите функции, графики которых ограничивают фигуру: y = y = x = x = поля "х = " НЕ являются обязательными Найти площадь фигуры

© MathOnline.um-razum.ru

Тела вращения

Итак, ребята, мы заканчиваем тему "Цилиндр, конус, шар".
По-другому эти тела можно назвать ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Кроме того, мы рассматривали с Вами вписанные и описанные многогранники.  Мы говорили с Вами о площади поверхности этих тел.

Сегодня предлагаю Вам задачи  по этой теме с обновленного  открытого банка заданий ЕГЭ-2015: В9 и В12 .
Решайте эти задачи, оформляйте решение в тетради "ПОДГОТОВКА К ЕГЭ". Есть возможность скачать и распечатать условие задач. Задавайте вопросы, если они у Вас возникнут...
Могу сказать, что задачи эти несложные, в 1-2 действия, решаются "на вдох-выдох"...  Пробуем, тренируемся... Ответы занесите в gοοgle-форму.  ЗАДАЧИ  ЗДЕСЬ.  Удачи)).
ФОРМА для ответов. Срок выполнения 22.12.2014.

Первообразная, интеграл

Ребята! На уроках математики мы говорили с Вами о первообразной, о неопределенном интеграле, о том, как с помощью первообразных найти площади криволинейных трапеций. Презентация с урока ЗДЕСЬ или полистайте ее в таком виде (нажмите на иконку в центре презентации):

Первообразная, интеграл

Publish at Calameo or read more publications.