Показательная функция

 Ребята! 

Мы приступаем к изучению еще одного класса элементарных функций. Это показательная функция.

Встречались ли мы с ней ранее?

Конечно! Помните легенду об изобретателе шахмат? 

Количество зерен на каждой клетке изменяется по закону A=2^х-1, где х - номер клетки.

На всей доске окажется 18 446 744 073 709 551 616 зёрен (Сумеете его прочитать? Начинается так: 18 квинтиллионов,...)  

Общая масса зерен составит 461 168 602 000 тонн. Для того, чтобы вместить такое количество зерна потребуется амбар с размерами 10х10х15 км.

Приведем еще примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни.

Показательная функция в жизни

1. Рост древесины происходит по закону   A=A_0*a^kt ,  где 
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время;   к, а- некоторые постоянные.

2. Давление воздуха с высотой убывает  по закону  P=P_0*a^-kh ,                     где P- давление на высоте h,                                                                                                                                     P0 – давление на уровне моря,                                                                                                                                           а- некоторая постоянная.

3. Рост количества бактерий  происходит по закону N=5^t ,                                  где N-число колоний бактерий в момент времени t;                                           t- время размножения.

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8  ^. 10¹⁴ особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но так как, кроме мух существует множество других животных и растений, многие из которых являются естественными врагами мух их количество не достигает вышеуказанных значений. По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов, – все эти процессы подчиняются одному закону: N = N₀e^kt .

Процессы выравнивания  (именно так  называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции)  часто встречаются и в биологии.

Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, ко­торый потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных бо­лезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

Как и при радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунды, для веществ, выводимых почками, — минутами, а для   гемоглобина — днями.

4. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается   формулой  ,                                                 где  N_o – первоначальное количество вещества,                                                   T_1/2– период полураспада.

Опишем  более подробно одно из важнейших физических явлений, которое связано с  показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад

По­сле открытия радиоактивности в опытах Беккереля и су­пругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадаю­щегося за единицу времени вещества всегда пропорцио­нально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же  доля  наличного запаса атомов.

Физики назвали промежуток времени, в течение ко­торого распадается половина тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период раз­личен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия — 1620 лет, а для полония-84 период полураспада равен всего 1,5 •  10^-4 сек.

Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени пТ остается  ((1/2)ⁿ - я     доля  этого вещества. Иными словами, если вначале   количест­во вещества равнялось М, то через промежуток времени  t = пТ  его останется   m=M(1/2)^t/T .

Из этой формулы   вытекает, что за 1 620 000 лет, т. е. за тысячу периодов полураспада радия, его количество уменьшается в 2¹⁰⁰⁰ раз, т.е. более чем в 10³⁰⁰ раз (полезно помнить, что 2¹⁰ = 1024  1000 = 10³). Если бы даже вся наша Галактика состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем 10³⁰⁰, и потому за 1 620 000 лет весь радий распался бы. Не следует де­лать из сказанного вывод, что Галактика существует мень­ше полутора миллионов лет — время ее существования ис­числяется миллиардами лет. Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана-238, а за все время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

5.  Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:     T = T₀+ (100 – T₀)e^-kt .

Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

6.  При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды  поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила  света I определяется по формуле: I = I₀e^-ks ,                                где s – толщина слоя;                                                                                                  k – коэффициент,  характеризующий мутную среду.

 По материалам сайта http://repetitor-problem.net/pokazatelnaya-funkciya-v-gizni

В качестве домашнего задания заполните Google- форму "Свойства показательной функции"