Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

среда, 12 ноября 2014 г.

Выпуклость функций

Дорогие ребята! Сегодня поговорим о выпуклости и вогнутости графиков функций. Для начала немного теории.

Определение

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале (a;b), если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала (a;b).

И аналогично:
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале (a;b), если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала (a;b).



За выпуклость или вогнутость графиков функций "отвечает" вторая производная.


Кроме этого, нам известна выпуклость или вогнутость элементарных функций, таких как квадратичная функция, различные виды степенных функций,  логарифмическая и показательная функции и др. 
Выпуклость и вогнутость их мы теперь можем обосновать с помощью теорем, находя вторую производную (см. выше). 
1. К тому же  мы можем говорить о выпуклости (вогнутости) суммы выпуклых или вогнутых функций. Т.е. верна такая теорема, если графики функций f(x) и g(x) выпуклы вверх, то и их сумма f(x) + g(x) будет иметь выпуклость вверх на пересечении областей определения этих функций.
2. Кроме того, мы можем использовать знания по преобразованию графиков. Например, верно такое утверждение: если график функции  f(x)  выпукл  вверх, то функция  "- f(x)" будет иметь выпуклость вниз.
Примеры

 На следующем рисунке представлено, каким образом из  графика функции у=f(x) получить график функции  у=f(-x). Подумайте, меняется ли при этом преобразовании выпуклость графика? 


Для нас представляет интерес, как можно использовать данное свойство при решении задач, уравнений.  Сегодня рассмотрим уравнение, которое было предложено учителям на 8-ой олимпиаде Эйлера, организуемой Фондом Эйлера и школой  при СПбГУ "УниШанс".
Решить это уравнение "стандартными" способами весьма затруднительно. Попробуйте))) А вот, используя свойство выпуклости графиков легко и просто.
Ниже представлено решение этого уравнения двумя способами.

А теперь я Вам предлагаю поупражняться в составлении таких уравнений ("за отдельную плату"). Вам нужно в открытой для Вас Google-презентации оформить 3 уравнения, представить их решение. Редактировать эту презентацию смогут те ребята, кто имеет доступ редактора. Если у Вас такого нет, запросите у меня доступ. Читать презентацию смогут все (общедоступно в Интернете). Не забудьте указать свою фамилию)) В добрый путь, удачи! 


ПРЕЗЕНТАЦИЯ ЗДЕСЬ

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Здесь можно оставить свои комментарии