Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

пятница, 26 ноября 2021 г.

Построение сечений

Дорогие ребята!

На уроках мы учимся строить сечения многогранников плоскостью.
Дадим такое определение:
Сечением тетраэдра или параллелепипеда плоскостью называется фигура, состоящая из общих точек плоскости и фигуры.

Начнем с тетраэдра.

Сечением тетраэдра может быть  , точка (вершина), отрезок (только все ребро), грань (треугольник), треугольник, не совпадающий с гранью, четырехугольник.
Подумайте, можно ли в сечении тетраэдра получить пятиугольник, почему? 



Принципы построения сечений

  1. Как правило, плоскость будем задавать тремя точками, например, А, В, С.
  2. Будем считать, что все точки, определяемые плоскость, принадлежат граням.
Первое правило: не проводи прямую, пока не увидишь плоскость, в которой она находится.
Второе правило: чтобы найти точку пересечения прямых, нужно убедиться, что они лежат в одной плоскости.
  1. Например, на рисунке обе точки E и F находятся в задней грани (F- невидимая точка), значит, соединяем их, проводим прямую EF в задней грани , она пересечет ребро BD в точке G.
Задача №1.
Попробуйте найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. (F - видимая точка)
Давайте рассуждать. Прямая EF находится в левой боковой грани, прямая АС также находится в левой боковой грани. Значит, они пересекаются (или?... и тогда...).
Но прямая АС лежит в заштрихованной грани, значит,   точка пересечения прямых АC и EF также будет являться точкой пересечения прямой EF и выделенной грани.
Построение выполните самостоятельно.

Попробуйте самостоятельно найти точку пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки, и выделенной плоскости в следующих ситуациях:













Задача №2. (посложнее)  Попробуйте здесь найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. Здесь E- видимая точка и принадлежит грани (АВС).


Для того чтобы решить эту задачу, давайте введем вспомогательную плоскость, проходящую через точки E, F и вспомогательную точку А (вместо точки А можно взять другую
точку). Эта плоскость (АEF) пересечет нижнюю грань в точках L и D, значит, их линией пересечения будет прямая LD/

 Теперь видим, что прямые EF и LD лежат в одной плоскости (AEF)  и, значит, найдем их точку пересечения. (Вопрос: всегда это возможно?) Продолжая рассуждать аналогично предыдущей задаче, получим, что точка М - искомая точка пересения прямой EF и плоскости (BCD).

Самостоятельно на следующем рисунке найдите точку пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки, и выделенной плоскости:
Примечание. Одна из выделенных точек находится в задней боковой грани.






А сейчас разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай:  2 точки принадлежат одной грани).  
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения. 
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
3. Далее повторяем с пункта 1.
Рассмотрим такую задачу.
Построить сечение тетраэдра плоскостью (EFG), причем точки E и G - видимые.

1.  Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF  в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения  прямой EF c  ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF,  и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это  точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H,  и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1.  Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной  (одна или ни одной!)  стороны сечения

Попробуйте самостоятельно построить сечение плоскостью (EFG), но теперь точки E и G - невидимые.

Получилось? - Молодцы:))

Если нет, спрашивайте, что непонятно...

Проверить правильность построения вы можете, посмотрев презентацию


Напоследок  попробуйте определить, есть ли ошибка в построении сечений. И если есть, то какая? Попробуйте ее исправить! Удачи))



 


среда, 10 ноября 2021 г.

Проект. Геометрическая прогрессия

Повторение - мать учения) 
Предлагаю Вашему вниманию проект, который выполнили ученики 9 класса в 2013 году.
Сначала хочу предложить Вам 2 задачи.

 ЗАДАЧА № 1
 Представьте себе - перед Вами тетрадный лист  бумаги. Вы разрываете его пополам любым способом, затем одну из половинок - ещё раз пополам, затем четвертинку - пополам      и т. д.
ВОПРОС
Сколько раз надо разорвать листок пополам, чтобы дойти до размера молекулы?

ЗАДАЧА № 2
 Одному человеку некий человек предложил ежедневно в течение месяца выплачивать 100 тысяч рублей. Было только одно условие. За это он должен был каждый день в течение месяца уплачивать некую сумму: в первый день - 1 копейку, во второй день - 2 копейки, в третий - 4 копейки и т. д. Т.е. каждый день он должен был платить вдвое больше прежнего, и так в течение месяца. Подумав, человек...

Я не буду до конца рассказывать Вам эту историю. Но мне интересно, а как бы Вы ответили на такое предложение? Да, предполагаем, что в месяце 30 дней.

Неслучайно, я задаю Вам эти задачи. Сейчас на уроках алгебры мы изучаем тему "Геометрическая прогрессия". Эти вопросы имеют непосредственное отношение к этой теме.
Я предлагаю ВАМ,заинтересованным лицам, собрать задачи такого типа в одну презентацию и оформить как отдельный проект.  Каждому из вас будет предоставлен доступ к документу (презентация "Геометрическая прогрессия" в совместное пользование).Участник проекта будет оформлять только 1 задачу (2-3 слайда, не более). Условие: задачи не должны повторяться. Задачи с этого сообщения Вы тоже можете разобрать и оформить на слайде. Внизу слева на слайде указывайте свою фамилию, имя, класс. Не бойтесь испортить, все поправимо! Успехов!!!






Представляем Вам

Иванова Анастасия, 9 Б кл.
 участников проекта
 "Геометрическая прогрессия"

Фотуйма Виктория, 9 А кл.
Барон Ольга, 9 А кл.
Петров Степан, 9 А кл.




Большое спасибо ребятам! Думается, что задачи, которые они разобрали и представили на блоге интересны и полезны с практической точки зрения. Не попадайтесь на удочку заманчивым предложениям:))
Математика - это ведь не только набор формул и чисел, она думать учит!!!!
Я закрываю проект, оставляю Вам доступ к презентации только как читателям. если кто-то захочет продолжить поиск интересных задач по этой теме, обращайтесь лично ко мне.
Еще раз спасибо участникам проекта!