Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

суббота, 20 декабря 2014 г.

Площадь фигур, ограниченных графиками


Ребята! Вот Вы и познакомились с тем, как при помощи интегрирования находить площади криволинейных фигур.


Теперь Вы умеете находить площадь подграфика, если график функции лежит в верхней полуплоскости. Это важное дополнение.
Формула эта называется формулой Ньютона-Лейбница.




А вот случаи посложнее. Здесь фигура ограничена двумя графиками y=f1(x), y=f2(x) и прямыми x=a, x=b. Числа a и b называются пределами интегрирования - нижним и верхним. Как видим, неважно, в какой полуплоскости лежит график функции, главное, что одна функция - верхняя, а другая - нижняя.

Еще несколько примеров. Обратите внимание на случай, когда графики функций пересекаются. В таком случае, площадь фигуры находится как сумма двух площадей криволинейных фигур, только в одном случае y= φ(x) будет верхней функцией, а в другом   y=f(x).

Разберем такой пример:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sinx,  y=x2/4, 0≤x≤π/2 

Сделаем эскиз к задаче и увидим,  что площадь нужной нам фигуры можно найти как разность площадей криволинейной трапеции, ограниченной синусом, и криволинейной трапеции, ограниченной параболой: 


А теперь пример посложнее.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=x2+1y=x2, x+y-2=0, x=0                
Видно, что x+y-2=0 - это прямая. Приведём её к привычному нам виду:  y=-x+2. Сделаем эскиз:

Надо найти точки пересечения прямой с параболами, чтобы определить границы трапеций, т.е. пределы интегрирования. Для этого приравниваем правые части и решим уравнения:

x2=2-х
x2+х-2=0
x=-2; х=1 
x2+1=2-х
x2+x-1=0
D=1-4 (-1)=5
x=(-1±√5)/2
x=(-1-√5)/2; х=(-1+√5)/2 

Из четырёх получившихся значений выбираем нужные два. Это х=1 и х=(-1+√5)/2.
В этом случае нужная нам фигура получается как сумма двух криволинейных         трапеций за минусом третьей. 

Дальше - дело техники вычислений. Доведите вычисления до конца сами. Главное в этом примере было разобраться, из чего «собирается» площадь нужной нам фигуры. 

А здесь  парочка виджетов, которые позволят Вам проверить свое решение)). Попробуйте... Получилось?
**Вводите буквы в английском регистре и используйте для обозначения степени значок ^, например, x^2. А в остальном, экспериментируйте сами... Удачи)))




Введите функцию f(x) =
Границы отрезка [a; b]:a = b =
Найти площадь трапеции





Введите функции, графики которых
ограничивают фигуру:
y = y =
x = x =
поля "х = " НЕ являются обязательными
Найти площадь фигуры

четверг, 18 декабря 2014 г.

Тела вращения

Итак, ребята, мы заканчиваем тему "Цилиндр, конус, шар".
По-другому эти тела можно назвать ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Кроме того, мы рассматривали с Вами вписанные и описанные многогранники.  Мы говорили с Вами о площади поверхности этих тел.
Сегодня предлагаю Вам задачи  по этой теме с обновленного  открытого банка заданий ЕГЭ-2015: В9 и В12 .
Решайте эти задачи, оформляйте решение в тетради "ПОДГОТОВКА К ЕГЭ". Есть возможность скачать и распечатать условие задач. Задавайте вопросы, если они у Вас возникнут...
Могу сказать, что задачи эти несложные, в 1-2 действия, решаются "на вдох-выдох"...  Пробуем, тренируемся... Ответы занесите в gοοgle-форму.  ЗАДАЧИ  ЗДЕСЬ.  Удачи)).
ФОРМА для ответов. Срок выполнения 22.12.2014.

суббота, 6 декабря 2014 г.

Первообразная, интеграл

Ребята! На уроках математики мы говорили с Вами о первообразной, о неопределенном интеграле, о том, как с помощью первообразных найти площади криволинейных трапеций. Презентация с урока ЗДЕСЬ или полистайте ее в таком виде (нажмите на иконку в центре презентации):

воскресенье, 30 ноября 2014 г.

Сечение сферы плоскостью

Ребята!
Некоторые из Вас не справились с работой по теме "Сечения сферы плоскостью". Делаем работу над ошибками.
Но сначала давайте вспомним, какая фигура может получиться в сечении шара плоскостью? Надеюсь, Вы помните - только круг. И треугольник, который Вы  будете рассматривать, будет либо вписанным в окружность, либо описанным около окружности, которая является границей сечения.
Кроме того, помните, что для решения задачи достаточно  сделать планиметрический чертеж.
Вам предлагается в качестве д/з следующая работа по теме "СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ ПЛОСКОСТЬЮ". Как обычно, решаете и ответы заносите в форму (см. ниже)
Срок выполнения работы 08.12.2014.


РЕБЯТА! ВНИМАНИЕ!
Во второй задаче была допущена опечатка. Треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 48 см не существует! Странно, что некоторые из Вас при этом условии решили задачу и получили ответ((( Сейчас условие задачи изменено!

воскресенье, 23 ноября 2014 г.

Еще раз "Производная"

Ребята! Как показала последняя работа, еще не все из Вас разобрались с графиками функции и ее производной. Сначала вспомните теоретический материал. Ответьте на следующие вопросы.

  • Какова взаимосвязь между функцией и ее производной?
  • Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции?
  • Что можно утверждать о прямых, если равны их угловые коэффициенты равны?
  • Как взаимосвязаны угол наклона касательной к оси ОХ и угловой коэффициент касательной?
  • Верно ли утверждение: "Если производная в некоторой точке равна 0, то в этой точке функция имеет экстремум"?
  • Верно ли утверждение:"Если функция в некоторой точке имеет максимум, то производная меняет знак с "+" на "-""?
  • Что можно утверждать о функции, если график производной на некотором промежутке лежит в нижней полуплоскости?

Еще раз предлагаю Вам домашнее задание по чтению графиков.
Выполнив задания, занесите ответы в форму. Срок выполнения.26.11.2014.
ЗАДАНИЯ ЗДЕСЬ

Форма для внесения ответов

среда, 12 ноября 2014 г.

Выпуклость функций

Дорогие ребята! Сегодня поговорим о выпуклости и вогнутости графиков функций. Для начала немного теории.

Определение

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале (a;b), если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала (a;b).

И аналогично:
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале (a;b), если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала (a;b).



За выпуклость или вогнутость графиков функций "отвечает" вторая производная.


Кроме этого, нам известна выпуклость или вогнутость элементарных функций, таких как квадратичная функция, различные виды степенных функций,  логарифмическая и показательная функции и др. 
Выпуклость и вогнутость их мы теперь можем обосновать с помощью теорем, находя вторую производную (см. выше). 
1. К тому же  мы можем говорить о выпуклости (вогнутости) суммы выпуклых или вогнутых функций. Т.е. верна такая теорема, если графики функций f(x) и g(x) выпуклы вверх, то и их сумма f(x) + g(x) будет иметь выпуклость вверх на пересечении областей определения этих функций.
2. Кроме того, мы можем использовать знания по преобразованию графиков. Например, верно такое утверждение: если график функции  f(x)  выпукл  вверх, то функция  "- f(x)" будет иметь выпуклость вниз.
Примеры

 На следующем рисунке представлено, каким образом из  графика функции у=f(x) получить график функции  у=f(-x). Подумайте, меняется ли при этом преобразовании выпуклость графика? 


Для нас представляет интерес, как можно использовать данное свойство при решении задач, уравнений.  Сегодня рассмотрим уравнение, которое было предложено учителям на 8-ой олимпиаде Эйлера, организуемой Фондом Эйлера и школой  при СПбГУ "УниШанс".
Решить это уравнение "стандартными" способами весьма затруднительно. Попробуйте))) А вот, используя свойство выпуклости графиков легко и просто.
Ниже представлено решение этого уравнения двумя способами.

А теперь я Вам предлагаю поупражняться в составлении таких уравнений ("за отдельную плату"). Вам нужно в открытой для Вас Google-презентации оформить 3 уравнения, представить их решение. Редактировать эту презентацию смогут те ребята, кто имеет доступ редактора. Если у Вас такого нет, запросите у меня доступ. Читать презентацию смогут все (общедоступно в Интернете). Не забудьте указать свою фамилию)) В добрый путь, удачи! 


ПРЕЗЕНТАЦИЯ ЗДЕСЬ

воскресенье, 2 ноября 2014 г.

Задания по теме "Цилиндр"

Ребята! Мы заканчиваем тему цилиндр. Сегодня я предлагаю Вашему вниманию задания по этой теме.








1. Заполните форму с теоретическими вопросами.


2. Решите следующие задачи. Решение оформляйте в тетради, затем решение сканируйте и отправляйте мне на почту margarita.smirnova.ks@gmail.com. Или же сдаете мне тетради на проверку. Срок выполнения этих заданий 12.11.2014.


 И в завершении,  интересный факт:

Как сделать из колбасы (цилиндра) синусоиду? Полностью сюжет можно посмотреть на сайте "Математические этюды" http://www.etudes.ru/ru/sketches/






вторник, 28 октября 2014 г.

Между прочим...

Знаете, недавно "Вконтакте" мне прислали вот такое послание:
  Неужели все так грустно? А может, дело в самом человеке? Не хватает сил, умения, времени остановиться, оглянуться, чтобы понять себя, другого, оценить, что происходит вокруг...
Невозможно научить прожить свою жизнь. Смотрите, наблюдайте, сами делайте выводы... И если Вы  задумались над этим, то это уже немало... А с математикой дело такое - математика, на мой взгляд, это умение мыслить и находить ответы на вопросы, которые перед нами ставит жизнь...А решать уравнения, даже логарифмические, можно научить и машину...

Попалось мне вот такое стихотворение. Автор Д. Челышев. Кроме имени, я ничего об авторе не знаю...
Стихотворение очень тронуло. А Вам как?
 Удачи Вам, мои дорогие!

Работа над ошибками

Ребята, за 20.10.2014 выставлены отметки за устные контрольные работы. Посмотрите в журнале на блоге. Если Вас не устраивает отметка, которую Вы получили, делайте работу над ошибками. Я даю Вам задания. Вот они.
Вы их решаете, сканируете свою работу и отправляете скан мне на почту.  Срок  большой (впереди у нас каникулы) до 10.11.2014. В журнал  пойдет средняя арифметическая отметка. Удачи!

воскресенье, 19 октября 2014 г.

Повторяем решение тригонометрических уравнений

Ребята!

Сегодня мы повторяем решение тригонометрических уравнений, задание В11. Что важно помнить при решении таких уравнений. Здесь должно получиться в ответе только одно число, один корень, а не серия корней! Из серии Вас просят найти или наименьшее положительное число,  или наибольшее отрицательное. Будьте внимательны! Срок выполнения работы 24.10.2014. Желаю удачи!

Форма для ответов

понедельник, 13 октября 2014 г.

Ребята!
Сегодня публикую контрольное домашнее задание по теме "Движения".
Сразу же оговорим критерии работы:
отметка "3" - 10-13 верно выполненных заданий,
отметка "4" - 14-17 верно выполненных заданий,
отметка "5" - 18-20 верно выполненных заданий.
Менее 10 заданий -Увы мне, увы:(( -  придется переделать...

Срок выполнения работы 20.10.2014.
Желаю успехов!




вторник, 30 сентября 2014 г.

Повторение материала 10 класса

Ребята! Сегодня публикую работу по повторению материала 10
класса. Решив эту работу, результаты занесите в форму, указав свои фамилию, имя. Срок выполнения работы - 06.10.2014. В скором времени Вам в классе будет предложена аналогичная самостоятельная работа. У Вас есть возможность, как всегда, задать вопрос по интересующей Вас теме... Не упускайте свой шанс. Удачи!





РАБОТА ПО ПОВТОРЕНИЮ МАТЕРИАЛА 10 КЛАССА


Форма для ответов:

понедельник, 22 сентября 2014 г.

Журнал 11 класса, 2014-2015 учебный год

Дорогие мои ученики! Чтобы Вы могли оперативнее реагировать на свои отметки, т.е. результаты обучения, я создаю и помещаю в блоге ссылку на Ваш журнал. В журнале будет всего 2 странички; 1. Алгебра и начала анализа; 2. Геометрия. Сюда будут заносится оценки  по самостоятельным, контрольным работам. Просмотреть журнал смогут только те пользователи, которые имеют доступ, т.е. только Вы. Думаю, что это Вам будет удобно, дабы Вы смогли вовремя ликвидировать имеющиеся у Вас пробелы. Успехов! Журнал ЗДЕСЬ

воскресенье, 21 сентября 2014 г.

Полезные ссылки по ЕГЭ

 Ребята! Не забываем, что впереди у нас ЕГЭ.







Даю Вам ссылку на ОТКРЫТЫЙ БАНК ЗАДАНИЙ ЕГЭ  по математике.  Здесь размещены задания части В  КИМов 2015 года.


Кроме этого, загляните на  официальный сайт Федерального института педагогических измерений ФИПИ. Там размещены демоверсии КИМов 2015 года по многим предметам. Ссылка на сайт  ФИПИ    ЗДЕСЬ.

На этом же сайте есть также ОТКРЫТЫЙ БАНК ЗАДАНИЙ. Только задания разнесены по темам : Алгебра, Уравнения и неравенства, Функции, Начала математического анализа, Геометрия, Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятности. Ссылка на открытый банк заданий ФИПИ по математике ЗДЕСЬ.




В этом году произойдут изменения в организации ЕГЭ. Все новости, мероприятия, проводимые в рамках подготовки к ЕГЭ. Последние документы публикуются на официальном информационном портале ЕГЭ. Ссылка ЗДЕСЬ

В 2015 году впервые экзамен по математике можно будет сдать на базовом и профильном уровне.
На сайте московского преподавателя Александра Александровича Ларина есть генератор вариантов ЕГЭ. Ссылка на генератор  ЗДЕСЬ.
 На этом же сайте можно увидеть (и скачать) пособия для подготовки к ЕГЭ.






На сайте Дмитрия Дмитриевича Гущина, петербургского учителя, есть возможность самостоятельно составлять тесты по интересующим Вас проблемам, решать их и сверять ответы и решения с опубликованными на сайте. Ссылка ЗДЕСЬ.

Очень полезный сайт  для подготовки к ЕГЭ по математике http://egemaximum.ru/