Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

среда, 26 февраля 2014 г.

Призма

На уроках геометрии мы начали изучать пространственные тела, в частности, многогранники.
Призма - один из видов многогранников.
Уточним, какими понятиями Вы уже должны владеть:
Многогранники, выпуклые и невыпуклые многогранники
Прямая и наклонная призмы
Правильная призма
Высота призмы
Грани, вершины, ребра призмы. Формула Эйлера
Диагональ призмы, диагональное сечение.



Вашему вниманию предлагается тест на проверку теоретических знаний. Срок выполнения 05.03.2014


<

понедельник, 17 февраля 2014 г.

Еще раз о геометрии

Очень тяжело у нас идут задачи по геометрии.
Для устранения этой проблемы следует
1.  хорошо выучить теорию;
2. научиться строить чертежи;
3. применять имеющиеся знания к решению задач.
Поэтому сегодня мы еще раз разберем пошагово некоторые задачи. Это Д/З: разобрать, закончить решение, записать в тетрадь.

ЗАДАЧА №1.
Точка М одинаково удалена от вершин  равностороннего треугольника АВС, сторона которого равна а. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно а. Вычислите угол между:
      1.  прямой МА  и плоскостью треугольника АВС;
      2.  прямой МЕ (Е – середина ВС) и плоскостью треугольника АВС.
УКАЗАНИЯ   к решению.
Первое, что следует отметить, анализируя условие, что точка М проецируется в центр описанной окружности ΔАВС, т.к. … (продолжите самостоятельно). Т.о. точка О , центр описанной окружности около правильного ΔАВС, лежит на высоте (медиане) АЕ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. Сделаем чертеж.

Далее давайте  определим, какие углы нам следует найти.
1.      Угол между прямой МА  и плоскостью треугольника АВС. По определению, угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Т.е. в нашем случае: ОМ(АВС); АМ - наклонная, ОА – ее проекция, значит искомый угол - ∟МОА. Этот угол можно найти, рассматривая ΔМОА. Далее решайте самостоятельно.
2.      Угол между прямой МЕ (Е – середина ВС) и плоскостью треугольника АВС.  
      Заполните пропуски: ОМ(АВС); МЕ – наклонная,  ….  -  проекция, значит искомый угол  - ∟… 
ЗАДАЧА №2
Через сторону АВ прямоугольника АВСD проведена плоскость α. Сторона СD удалена от этой плоскости на 3 см, СВ=6см, DС=8см. вычислите:
1.  угол между прямой DА и плоскостью α;
2.  синус угла между прямой ВD и плоскостью α.

Давайте сделаем чертеж к задаче. 
Построим плоскость α. Пусть в нашем случае DМα; СРα. 
Ответьте на вопросы: 
1. Почему прямые РС и DM определяют плоскость? (Как они расположены друг относительно друга?)
2.      Каково взаимное расположение прямой АВ и  плоскости (МРС), почему?
3.      Укажите проекцию прямой DМ на плоскость α. Как расположена эта проекция относительно прямой АВ? Найдите угол между этими прямыми.
4.      Укажите на чертеже угол между прямой DА и плоскостью α. Из какого треугольника будете находить этот угол?
5.      Укажите на чертеже угол между прямой DВ и плоскостью α. Из какого треугольника будете находить этот угол?


ЗАДАЧА №3
Катет прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости α. 
Вершина А удалена от нее на  
дм. ВС=АС=4 дм. Вычислите угол между плоскостью α и прямой  
1)      АС; 2)  АВ.
На чертеже АНα.  
В ΔАВС АВ – катет, а где гипотенуза? Найдите ее.
Далее работаем по известной схеме: 
находим перпендикуляр к плоскости, 
наклонную, 
ее проекцию,
 угол между прямой и плоскостью.


ЗАДАЧА №4
Плоскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны. АВ=6, АК=8, ∟АВК=∟АВС=90, ∟ВАС=45. Вычислите расстояние между:
1.     точками К и С;
2.     прямыми ВК и АС.


 
Учитывая, что плоскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны, а углы  ∟АВК=∟АВС=90,  отредактируем чертеж:




Подумайте, какой отрезок будет являться расстоянием между прямыми АС и КВ?  Найдите его. 
Дополнительный вопрос: укажите линейный угол двугранного угла КВАС.


среда, 12 февраля 2014 г.

Работаем по Сканави

Ну, что же, ребята,  Вы уже почти готовы решать "серьезные" задания по тригонометрии. Сегодня знакомимся с "вечным" задачником под редакцией М.И. Сканави. Называется этот задачник "Сборник задач для поступающих во ВТУЗы". По этому сборнику готовились поступать в высшие технические учебные заведения, наверное, Ваши родители, а может, и более старшее поколение. В сборнике собраны задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в различные ВУЗы страны в разные годы.


Мы сегодня знакомимся с III главой "Тождественные преобразования тригонометричеких выражений". Конечно, Вы только в начале пути, и, наверное, у Вас не сразу все получится, но нужно дерзать, пробовать... Тем более, что за верно решенные задания (не менее 5примеров) последует заслуженная награда - отметка в журнале.

Задания в сборнике условно разбиты на части А, Б и В.
Часть А  - это задания минимального необходимого уровня подготовки учащихся к вступительным экзаменам во ВТУЗы. Сейчас, конечно, ЕГЭ, но для продолжения образования  во ВТУЗах крайне важно овладеть этим уровнем.
Часть Б. Если Вы сумеете решить задания этой части, то это говорит о высоком качестве усвоения школьной программы.

Сравните задания. Мне кажется, что деление очень условно
Обратите внимание на задания № 3.108-3.113, 3.264-3.265. В заданиях 3.114-3.147 требуется преобразовать в произведение, в сотальных заданиях -упростить.
Часть А





Часть Б 



вторник, 11 февраля 2014 г.

Задачи для подготовки к контрольной работе

Сегодня публикую  задачи для подготовки к  контрольной работе по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей".  Проверьте себя. Кроме этого по этим задачам  17.02 будет проведен устный зачет, на котором наряду с вычислительными навыками Вам предстоит продемонстрировать знание теории по теме. После этого (19.02) пишем контрольную работу. Задачи  3 и 4  серии следует решить в качестве домашней работы.
Основные типы задач по теме:

1. ТОЧКА, РАВНОУДАЛЕНАЯ ОТ ВЕРШИН МНОГОУГОЛЬНИКА




2. ТОЧКА, РАВНОУДАЛЕННАЯ ОТ СТОРОН МНОГОУГОЛЬНИКА




3. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ



4. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ





вторник, 4 февраля 2014 г.

Учим формулы приведения

Следующая группа формул, с которой нам предстоит познакомиться  - ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ. Для того чтобы лучше запомнить эти формулы, можно применять  мнемоническое правило:
1. Если аргумент функции содержит целые части π, то название функции не меняется.
Если же аргумент содержит "половинки π", то название функции меняется на сходственную (синус - на косинус, косинус - на синус, тангенс - на сотангенс, сотангенс - на тангенс)
2. Знак определяем по знаку исходной функции в данной четверти, считая всегда, что α - угол I четверти.
Это правило математики еще называют "правилом лошади", догадайтесь, почему.
****
Кроме этого можно пользоваться свойствами тригонометрических функций, а именно свойством четности-нечетности и периодичностью. Напоминаю, что
1. периодом для синуса и косинуса является число 2π, а для тангенса и котангенса - число π.
2. Из всех перечисленных функций только косинус обладает свойством четности, остальные - нечетные функции. Осталось вспомнить, а что это такое, и с чем ....:))
А теперь тренируемся, вперед! Проверка - в классе, очно. Удачи!