Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

суббота, 20 декабря 2014 г.

Площадь фигур, ограниченных графиками


Ребята! Вот Вы и познакомились с тем, как при помощи интегрирования находить площади криволинейных фигур.


Теперь Вы умеете находить площадь подграфика, если график функции лежит в верхней полуплоскости. Это важное дополнение.
Формула эта называется формулой Ньютона-Лейбница.




А вот случаи посложнее. Здесь фигура ограничена двумя графиками y=f1(x), y=f2(x) и прямыми x=a, x=b. Числа a и b называются пределами интегрирования - нижним и верхним. Как видим, неважно, в какой полуплоскости лежит график функции, главное, что одна функция - верхняя, а другая - нижняя.

Еще несколько примеров. Обратите внимание на случай, когда графики функций пересекаются. В таком случае, площадь фигуры находится как сумма двух площадей криволинейных фигур, только в одном случае y= φ(x) будет верхней функцией, а в другом   y=f(x).

Разберем такой пример:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sinx,  y=x2/4, 0≤x≤π/2 

Сделаем эскиз к задаче и увидим,  что площадь нужной нам фигуры можно найти как разность площадей криволинейной трапеции, ограниченной синусом, и криволинейной трапеции, ограниченной параболой: 


А теперь пример посложнее.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=x2+1y=x2, x+y-2=0, x=0                
Видно, что x+y-2=0 - это прямая. Приведём её к привычному нам виду:  y=-x+2. Сделаем эскиз:

Надо найти точки пересечения прямой с параболами, чтобы определить границы трапеций, т.е. пределы интегрирования. Для этого приравниваем правые части и решим уравнения:

x2=2-х
x2+х-2=0
x=-2; х=1 
x2+1=2-х
x2+x-1=0
D=1-4 (-1)=5
x=(-1±√5)/2
x=(-1-√5)/2; х=(-1+√5)/2 

Из четырёх получившихся значений выбираем нужные два. Это х=1 и х=(-1+√5)/2.
В этом случае нужная нам фигура получается как сумма двух криволинейных         трапеций за минусом третьей. 

Дальше - дело техники вычислений. Доведите вычисления до конца сами. Главное в этом примере было разобраться, из чего «собирается» площадь нужной нам фигуры. 

А здесь  парочка виджетов, которые позволят Вам проверить свое решение)). Попробуйте... Получилось?
**Вводите буквы в английском регистре и используйте для обозначения степени значок ^, например, x^2. А в остальном, экспериментируйте сами... Удачи)))




Введите функцию f(x) =
Границы отрезка [a; b]:a = b =
Найти площадь трапеции





Введите функции, графики которых
ограничивают фигуру:
y = y =
x = x =
поля "х = " НЕ являются обязательными
Найти площадь фигуры

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Здесь можно оставить свои комментарии