Объемы

Ребята!

На уроках геометрии мы познакомились  с формулами объема пространственных фигур, в том числе  пирамиды и наклонной призмы. Также познакомились с формулами Архимеда, устанавливающими отношение объемов цилиндра, вписанных в него шара и конуса.  Теперь оттачиваем Ваше умение решать задачи. Перед Вами первый тест по  теме "ОБЪЕМЫ". Срок выполнения 03.02.2017г.
УДАЧИ)))

Бином Ньютона

Бинома Ньютона

Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ  при натуральном  n  в виде многочлена:

(a+b)ⁿ=aⁿ+C_n¹ ·a^n-1 ·b+C_n² ·a^n-2 ·b²+

+C_n³ ·a^n-3 ·b³+…+C_n^n-1· a· b^n-1+bⁿ 

Заметим, что сумма показателей степеней для  a  и  b  постоянна и равна n, т.е. все одночлены, входящие в это разложение имеют одинаковую степень n.

Числа  С_n¹; C_n²; C_n³;… C_nⁿ   называются биномиальными коэффициентами.
Т.о., член разложения бинома ( a + b ) ⁿ , стоящий на (к+1)-ом месте, выражается следующим образом:
 T_k+1=C_n^k·b^k·a^n-k, 
а если учесть, что разложение может быть такого вида ( a - b ) ⁿ, то 
T_k+1=(-1)^k ·C_n^k·b^k·a^n-k , где k может принимать все значения от 0 до n.
Всего в разложении бинома (n+1)  слагаемое.
Напомним формулу числа сочетаний

Из этой формулы ясно, что C_n^k=C_n^n-k

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все  n элементов. Значит,  C_nⁿ=1; C_n⁰=1

Происходит это потому, что 0!=1 по определению.

Треугольник Паскаля

Биномиальные коэффициенты можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для  n = 1;  вторая - для  n = 2;  третья - для   n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

( a + b )⁷ , 

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

(a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷

Свойства биномиальных коэффициентов
 1.  Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) ⁿ  равна  2 ⁿ .
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения: C_n^k=C_n^n-k

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2^n-1

С использованием  материалов сайта http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg31.html

Домашнее задание по теме Бином Ньютона. Срок выполнения 31.01.2017
Как обычно, ответы заносим в googleформу. Удачи)))
Для справки (потребуется при решении задачи):
Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим между своими соседними членами.

Комбинаторика

Домашнее задание по теме КОМБИНАТОРИКА. Срок выполнения 24.01.2017
Как обычно, ответы заносим в googleформу

Тест №5

Продолжаем готовиться к ЕГЭ. На очереди - следующий тест (№5).  Пробуйте, решайте, дерзайте... Непонятно - спрашивайте! УДАЧИ))
Срок выполнения 22. 01.2017