Уважаемые гости, здравствуйте!
Этот блог предназначен тем, кто изучает математику,
тем, кто любит математику,
тем, кто ещё не знает, что любит математику...

понедельник, 25 января 2021 г.

Показательная функция

 Ребята! 

Мы приступаем к изучению еще одного класса элементарных функций. Это показательная функция.

Встречались ли мы с ней ранее?

Конечно! Помните легенду об изобретателе шахмат? 


Количество зерен на каждой клетке изменяется по закону A=2х-1, где х - номер клетки.

На всей доске окажется 18 446 744 073 709 551 616 зёрен (Сумеете его прочитать? Начинается так: 18 квинтиллионов,...)  

Общая масса зерен составит 461 168 602 000 тонн. Для того, чтобы вместить такое количество зерна потребуется амбар с размерами 10х10х15 км.

Приведем еще примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни.

Показательная функция в жизни

1. Рост древесины происходит по закону   A=A0*akt ,  где Показательная функция в жизни
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время;   к, а- некоторые постоянные.

2. Давление воздуха с высотой убывает  по закону  P=P0*a-kh ,                     где P- давление на высоте h,                                                                                                                                     P0 – давление на уровне моря,                                                                                                                                           а- некоторая постоянная.

3. Рост количества бактерий  происходит по закону N=5t ,                                  где Показательная функция в жизниN-число колоний бактерий в момент времени t;                                           t- время размножения.

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8  1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Но так как, кроме мух существует множество других животных и растений, многие из которых являются естественными врагами мух их количество не достигает вышеуказанных значений. По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов, – все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt .

Процессы выравнивания  (именно так  называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции)  часто встречаются и в биологии.

Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, ко­торый потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных бо­лезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

Как и при радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секундыдля веществ, выводимых почками, — минутами, а для   гемоглобина — днями.

4. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается  Показательная функция в жизни формулой  Формула радиоактивного распада,                                                 где  No – первоначальное количество вещества,                                                   T1/2– период полураспада.

Опишем  более подробно одно из важнейших физических явлений, которое связано с  показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад

По­сле открытия радиоактивности в опытах Беккереля и су­пругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадаю­щегося за единицу времени вещества всегда пропорцио­нально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же  доля  наличного запаса атомов.

Физики назвали промежуток времени, в течение ко­торого распадается половина тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период раз­личен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия — 1620 лет, а для полония-84 период полураспада равен всего 1,5 •  10-4 сек.

Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени пТ остается  ((1/2)n - я     доля  этого вещества. Иными словами, если вначале   количест­во вещества равнялось М, то через промежуток времени  t = пТ  его останется   m=M(1/2)t/T .

Из этой формулы   вытекает, что за 1 620 000 лет, т. е. за тысячу периодов полураспада радия, его количество уменьшается в 21000 раз, т.е. более чем в 10300 раз (полезно помнить, что 210 = 1024  1000 = 103). Если бы даже вся наша Галактика состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем 10300, и потому за 1 620 000 лет весь радий распался бы. Не следует де­лать из сказанного вывод, что Галактика существует мень­ше полутора миллионов лет — время ее существования ис­числяется миллиардами лет. Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана-238, а за все время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

Показательная функция в жизни5.  Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:     T = T0+ (100 – T0)e-kt .

Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

6.  При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды  поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила  света I определяется по формуле: I = I0e-ks ,                                где Показательная функция в жизниs – толщина слоя;                                                                                                  k – коэффициент,  характеризующий мутную среду.

 По материалам сайта http://repetitor-problem.net/pokazatelnaya-funkciya-v-gizni

В качестве домашнего задания заполните Google- форму "Свойства показательной функции"


Комментариев нет:

Отправить комментарий

Здесь можно оставить свои комментарии