Учимся строить сечения

На уроках мы учимся строить сечения многогранников плоскостью.
Дадим такое определение:
Сечением тетраэдра или параллелепипеда плоскостью называется фигура, состоящая из общих точек плоскости и фигуры.

Начнем с тетраэдра.

Сечением тетраэдра может быть  ⌀, точка (вершина), отрезок (только все ребро), грань (треугольник), треугольник, не совпадающий с гранью, четырехугольник.
Подумайте, можно ли в сечении тетраэдра получить пятиугольник, почему? 

Принципы построения сечений

1. Как правило, плоскость будем задавать тремя точками, например, А, В, С.
2. Будем считать, что все точки, определяемые плоскость, принадлежат граням.
3. Обозначения:

видимая точка

Невидимая точка 

Первое правило: не проводи прямую, пока не увидишь плоскость, в которой она находится.

Второе правило: чтобы найти точку пересечения прямых, нужно убедиться, что они лежат в одной плоскости.

1. Например, на рисунке обе точки E и F находятся в задней грани (F- невидимая точка), значит, соединяем их, проводим прямую EF в задней грани , она пересечет ребро BD в точке G.

Задача №1.

Попробуйте найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. (F - видимая точка)

Давайте рассуждать. Прямая EF находится в левой боковой грани, прямая АС также находится в левой боковой грани. Значит, они пересекаются (или?... и тогда...).
Но прямая АС лежит в заштрихованной грани, значит,   точка пересечения прямых АC и EF также будет являться точкой пересечения прямой EF и выделенной грани.
Построение выполните самостоятельно.

Попробуйте самостоятельно найти точку пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки, и выделенной плоскости в следующих ситуациях:

Задача №2. (посложнее)  Попробуйте здесь найти точку пересечения прямой EF и выделенной грани. Здесь E- видимая точка и принадлежит грани (АВС).

Для того чтобы решить эту задачу, давайте введем вспомогательную плоскость, проходящую через точки E, F и вспомогательную точку А (вместо точки А можно взять другую
точку). Эта плоскость (АEF) пересечет нижнюю грань в точках L и D, значит, их линией пересечения будет прямая LD/

 Теперь видим, что прямые EF и LD лежат в одной плоскости (AEF)  и, значит, найдем их точку пересечения. (Вопрос: всегда это возможно?) Продолжая рассуждать аналогично предыдущей задаче, получим, что точка М - искомая точка пересения прямой EF и плоскости (BCD).

Самостоятельно на следующем рисунке найдите точку пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки, и выделенной плоскости:
Примечание. Одна из выделенных точек находится в задней боковой грани.

Домашнее задание. Выполняем его на двойных листах. Не забываем давать пояснения. Срок сдачи 15.10.2013.